Recurrence is one of the most fascinating topics in Ergodic Theory that implies many results in combinatorics and number theory. In this talk I will review many classical results of recurrence together with such implications arriving at the end to the new representations theories that capture the so-called “cubic structures”.

We propose and analyze a stochastic-gradient-descent (SGD) type method for solving systems of nonlinear ill-posed equations. The method considered here extends the SGD type iteration introduced in [1] for solving linear ill-posed systems. A distinctive feature of our method resides in the adaptive choice of the stepsize, which promotes a relaxed orthogonal projection of the current iterate onto a conveniently chosen convex set. This characteristic distinguish our method from other SGD type methods in the literature (where the stepsize is typically chosen a priori) and accounts for the faster convergence observed in the numerical experiments conducted in this manuscript. Our convergence analysis includes: monotonicity and mean square convergence of the iteration error (exact data case), stability and semi-convergence (noisy data case). In the later case, our method is coupled with an a priori stopping rule. Numerical experiments are presented for two large scale nonlinear inverse problems in machine learning (both with real data): (i) we address, using neural networks, the big data problem of CO-concentration prediction considered in [1]; (ii) we tackle the classification problem for the MNIST database (http://yann.lecun.com/exdb/mnist/). Additionally, a parameter identification problem in a 3D elliptic PDE system is considered. (Joint work with J.Rabelo, Y.Saporito, A.L.Madureira)

References:
[1] J.Rabelo, Y.Saporito, A.L. On stochastic Kaczmarz type methods for solving large scale systems of linear ill-posed equations Inverse Problems, 38 (2022)
[2] J.Rabelo, Y.Saporito, A.L.Madureira, A.L. On projective stochastic-gradient type methods for solving large scale systems of nonlinear ill-posed equations: Application to machine learning

Our talk aims to describe to the general public some basic results of Ergodic Optimization, and its relation to the limit of equilibrium states when the temperature goes to zero.

The evolution of science has been closely linked to our ability to extract meaningful information from data and measurements. A natural step in this direction is to classify data into a (preferably small) number of groups that capture their essential characteristics, which is known as data clustering or community detection. The underlying principle is that similar data points should be grouped together, while dissimilar ones should belong to separate groups. We consider the unsupervised setting, in which the classification aims to reveal intrinsic properties or the latent structure of the dataset, rather than being guided by predefined labels. Although problems of this kind are widely studied due to their practical importance, rigorous theoretical results remain relatively scarce. This is partly due to the challenge of defining the quality of a given clustering in a purely abstract setting. In this talk, I will discuss rigorous results in this area, focusing in particular on clustering in the context of random geometric graphs. This includes joint work with Konstantin Avrachenkov (INRIA-Sophia Antipolis), Luiz Emilio Allem (UFRGS), Hariprasad Manjunath (Chanakya University), and Lucas Siviero Sibemberg (UFRGS).

The celebrated Toda flow was originally shown to be integrable on Jacobi matrices by work of Hénon, Flaschka, Moser and Manakov. Later, complete integrability on generic coadjoint orbits on symmetric and then nonsymmetric matrices was shown by Deift, Nanda, Li and Tomei and extensions for semisimple algebras were obtained by Gehkhtman and Shapiro. In this talk, I present a simple coordinate system which decouples the Toda flow into first order, constant coefficient ODEs. No symplecticity is required, and the linearizing variables are invariant under a number of restrictions, which include choice of (simple, possibly complex) spectrum and profile (in particular, band matrices). Coordinates also apply to real symmetric matrices with arbitrary spectrum, desingularize Kostant's interpretation of the Toda lattice and extend to a class of Lie algebras.
Joint work with R. Leite (UFES), N. Saldanha (PUC-Rio) and D. Martinez Torres (U. Politecnica, Madrid)

A modelagem de textos têm ganhado bastante visibilidade e popularidade nos últimos anos devido a grande e, cada vez maior, quantidade de informações presentes no dia a dia, consumidas de diversas maneiras. Um ramo dentro da análise de textos é o de modelagem de tópicos, cujas metodologias visam entender a estrutura de tópicos que formam um documento, segmentando vários documentos por seus tópicos (assuntos) dominantes e simplificando assim a exploração de grandes volumes de dados textuais com a redução de dimensionalidade ocasionada. Um dos métodos pioneiros neste contexto é o Modelo de Mistura (MM), este que parte-se do pressuposto de que cada documento será composto de palavras advindas de um único tópico. Diante dessa limitação, tem ganhado bastante visibilidade a técnica de Latent Dirichlet Allocation (LDA), por conta de sua maior flexibilidade, visto que permite que cada documento possa exibir vários tópicos. No entanto, uma das características do MM e LDA consiste na exigência de que o usuário defina de partida a quantidade de tópicos do modelo. Sendo assim, o uso de métricas de desempenho se faz necessário após a aplicação do método, visando a ajuda na definição e estimação do melhor número de tópicos a ser escolhido. Nesse trabalho, portanto, além de contrapor as metodologias de análises textuais, fazemos o comparativo entre as métricas que mensuram a qualidade dos modelos e são utilizadas para a escolha do número de tópicos. Para isso, aplicamos os modelos e as métricas de seleção em conjuntos de dados reais.

In this talk, I will present recent results on the consistency of the classical Bayesian Information Criterion for model selection in the Stochastic Block Model. This is a joint work with Andressa Cerqueira (UFSCAR) and Catherine Matias (Sorbonne Université)

Estudamos a convergência global e finita do método de Newton semi-suave para resolver um sistema linear por partes que surge em problemas de otimização quadrática com restrições cônicas e em equações com valor absoluto. Apresentamos alguns experimentos computacionais que ilustram o comportamento do método de Newton semi-suave em problemas esparsos de grande escala e na solução numérica de uma discretização da equação diferencial parcial de Boussinesq, que modela um escoamento bidimensional em um aquífero freático homogêneo. As ideias são estendidas para uma equação de projeção geral, com aplicações em problemas de mínimos quadrados semidefinidos, em particular no problema da matriz de correlação mais próxima. Este é um trabalho em conjunto com N.F. Armijo e Y. Bello-Cruz.

Modelos filogeográficos combinam dados de sequências genéticas e informações geográficas para inferir taxas de migração e padrões de dispersão espacial ao longo da história evolutiva de organismos. Esses modelos são amplamente utilizados na investigação de epidemias virais, como COVID-19, influenza e HIV, possibilitando reconstruir a origem geográfica de surtos, reconstruir sua disseminação espacial e identificar fatores determinantes da migração viral. Entretanto, é amplamente reconhecido que modelos discretos de difusão filogeográfica bayesiana são sensíveis a viéses amostrais, sobretudo em cenários onde limitações técnicas e de recursos comprometem a representatividade espacial das amostras em relação à prevalência real. Uma das abordagens mais comuns para minimizar esse impacto é realizar subamostragem dos dados observados. A fim de contornar esse problema, propomos o Bias-correcting Subsampling Trait Model (BSTM), uma nova abordagem para o cálculo da verossimilhança em processos com estados discretos sobre árvores filogenéticas. O BSTM busca corrigir o viés amostral sem necessidade de descartar dados, utilizando um modelo de mistura baseado em múltiplas árvores subamostradas, ponderadas por informações externas sobre frequências populacionais reais. Além disso, derivamos uma expressão analítica para a verossimilhança do modelo, resultando em ganhos significativos de eficiência computacional. Simulações de Monte Carlo são apresentadas para avaliar o modelo.

Otimização é uma área da Matemática que se ocupa da minimização de funções e problemas relacionados. Problemas desse tipo aparecem com frequência nas ciências naturais e humanas, por exemplo, no processo de ajustar modelos a dados reais. Por esse motivo, a Otimização é usualmente considerada "matemática aplicada". Nesta palestra consideraremos a aplicação de Otimização a problemas de Engenharia Hidráulica. Esta linha de pesquisa foi motivada, na Unicamp, pelo desastre de Brumadinho, em janeiro de 2019. Como consequência deste evento formou-se o grupo CRIAB (Conflitos, Riscos e Impactos associados a Barragens) e o subgrupo de Engenharia Matemática, que mantêm atividades e seminários semanais desde aquela data. O fluxo de água e materiais ao longo de canais naturais costuma ser modelado por equações diferenciais parciais chamadas Saint-Venant. A resolução numérica destas equações é exaustivamente analisada na literatura. Entretanto, condições iniciais, de contorno e parâmetros intrínsecos a essas equações não estão disponíveis, exceto em situações bem controladas de laboratório. Isto significa que a resolução das equações e a descoberta das magnitudes desconhecidas formam parte de um único "problema inverso". Diferentes abordagens, com técnicas adequadas de otimização especialmente motivadas pelos problemas reais, serão discutidas nesta palestra.

I will briefly and roughly discuss a topic in NSDS (Refractive Systems) that I am currently interested in. We intend to, colloquially discussing some properties of such class of non-smooth dynamical systems (NSDS). In this way, local stability conditions in dimension 3 are discussed. It is worth to say that such subject is still poorly understood in higher dimension.

Variable Length Markov Chains with Exogenous Covariates (VLMCX) are stochastic models that use Generalized Linear Models to compute transition probabilities, considering both the state history and time-dependent exogenous covariates. The beta-context algorithm selects a relevant finite suffix (context) for predicting the next symbol, estimating flexible tree-structured models by aggregating irrelevant states. This enables the model to incorporate exogenous covariates over time. This research extends the beta-context algorithm to include both time-dependent and time-invariant exogenous covariates, using data from multiple sources. Each data source has its own Markov chain, allowing for a comprehensive understanding of the process behavior across various situations, such as different geographic locations. We assume that all sources are independent and share identical parameters, exploring contexts within each source to compute transition probabilities and form a unified tree. This approach eliminates the need for spatial-dependent structural considerations. Our motivation is to investigate how previous dengue rates, weather conditions, and socioeconomic factors impact subsequent dengue rates across municipalities in Brazil, offering insights into dengue transmission dynamics. Joint work with Marilia Gabriela Rocha.

We study the differential operator $F(u) = - u'' + u^2/2$ on functions $u(0) = 0 = u(1)$, a nonlinear variation of the classical Sturm-Liouville problem. One basic question is estimating the number of preimages; another key question is the study of singularities of the operator. We prove a conjecture of H. McKean: all singularities of the operator $F$ are of Morin type, and $F$ admits arbitrarily deep Morin singularities. As a corollary, the number of preimages under $F$ is unbounded, even locally.
Joint work with Luis Antonio G. Ardila and Carlos Tomei (PUC-Rio)

In recent years there has been a great deal of interest in detecting properties of the fundamental group $\pi_1M$ of a $3$-manifold via its finite quotients, or more conceptually by its profinite completion. This motivates the study of the profinite completion $\widehat {\pi_1M}$ of the fundamental group of a $3$-manifold. I shall discuss a subgroup structure of the profinite completions of all 3-manifold groups and of related groups of geometric nature.

We show that a class of heterogeneous random networks of dynamical systems, where the network's degree distribution follows a power law and each node evolves according to a random dynamical system, admits a dimensional reduction. We characterize the dynamics of the low-dimensional approximation subject to fluctuations. In particular, we prove that these fluctuations remain small over exponentially long time scales. Our results explain several numerical observations, including a scaling relation between system size and the frequency of large fluctuations, system-size-induced desynchronization, and the Gaussian nature of the fluctuations.